Algèbre linéaire et Géométrie

Synthèse du cours de MATH-F102

Les notes publiées sur ce site sont basées sur ma compréhension personnelle du matériel et n’ont pas été indépendamment vérifiées. Bien que j’espère qu’elles soient utiles, il peut y avoir des erreurs ou des inexactitudes. Si vous trouvez des erreurs ou avez des suggestions d’amélioration, n’hésitez pas à me contacter : a.d@csic.es.

Enseignant : Samuel FIORINI & Joost VERCRUYSSE (Année 2020 - 2021)
Ressources officielles : Espace Dochub

Table des matières

Chapitre 0 : Généralités

  • 0.1 Les ensembles
  • 0.2 Construction sur les ensembles
  • 0.3 Relation d’équivalence
  • 0.4 Applications, injection, surjection et bijection

Notes du Chapitre 0

Chapitre 1 : Les espaces réels

  • 1.1 Le plan réel
    • 1.1.1 La ligne réelle
    • 1.1.2 Les points dans le plan et les couples de nombres réels
    • 1.1.3 Les vecteurs du plan
    • 1.1.4 Addition et multiplication par un scalaire
    • 1.1.5 Équation de droites
    • 1.1.6 Le plan euclidien et coordonnées cartésiennes
    • 1.1.7 Angle entre deux vecteurs
  • 1.2 L’espace tridimensionnel réel
    • 1.2.1 Points, vecteurs, triples
    • 1.2.2 Équations de plans
    • 1.2.3 Équations de droites
  • 1.3 L’espace \(\mathbb{R}^n\)

Notes du Chapitre 1

Chapitre 2 : Autres types de nombres et d’espaces

  • 2.1 Les corps finis d’ordre premier
    • 2.1.1 Arithmétique modulaire
    • 2.1.2 Le corps \(\mathbb{F}_p\) et ses espaces finis
  • 2.2 Les nombres complexes
    • 2.2.1 Motivations et définitions
    • 2.2.2 Plan de Gauss
    • 2.2.3 Forme polaire
  • 2.3 Les polynômes
    • 2.3.1 L’anneau des polynômes
    • 2.3.2 La division euclidienne
    • 2.3.3 Les racines d’un polynôme
    • 2.3.4 Racines de polynômes complexes et réels
    • 2.3.5 Le plus grand commun diviseur

Notes du Chapitre 2

Chapitre 3 : Matrices et systèmes d’équations linéaires

  • 3.1 Les matrices
    • 3.1.1 L’anneau des matrices
    • 3.1.2 Transposée et trace d’une matrice
    • 3.1.3 L’inverse d’une matrice
    • 3.1.4 Forme échelonnée d’une matrice
  • 3.2 Systèmes d’équations linéaires

Notes du Chapitre 3

Chapitre 4 : Espaces vectoriels

  • 4.1 Corps commutatifs
  • 4.2 Définition d’un espace vectoriel
  • 4.3 Sous-espaces
  • 4.4 Produit et somme directe
  • 4.5 Géométrie affine d’un espace vectoriel

Notes du Chapitre 4

Chapitre 5 : Bases et dimension

  • 5.1 Parties génératrices et parties libres
  • 5.2 Bases
  • 5.3 Dimension d’un espace vectoriel
  • 5.4 Espaces infinidimensionnels
  • 5.5 Le rang d’une matrice

Notes du Chapitre 5

Chapitre 6 : Applications linéaires

  • 6.1 Définitions et exemples
  • 6.2 Propriétés des applications linéaires
  • 6.3 Noyau et image
  • 6.4 Coordonnées, produits et coproduits revisités
  • 6.5 Le groupe des automorphismes
  • 6.6 Transformations affines

Notes du Chapitre 6

Chapitre 7 : L’espace des applications linéaires & matrices

  • 7.1 Matrice d’une application linéaire
  • 7.2 Propriétés des applications linéaires en termes de leurs matrices
  • 7.3 Applications linéaires et systèmes d’équations linéaires
  • 7.4 Changement de base et transformation de coordonnées
  • 7.5 Dualités
    • 7.5.1 L’espace dual
    • 7.5.2 Le dual d’une application linéaire
    • 7.5.3 L’espace bidual

Notes du Chapitre 7

Chapitre 8 : Déterminants

  • 8.1 Permutations
  • 8.2 Signe d’une permutation
  • 8.3 Longueurs, aires, volumes orientés
    • 8.3.1 Origine du déterminant
    • 8.3.2 Intuition géométrique dans le plan
  • 8.4 Existence et unicité du déterminant
  • 8.5 Propriétés et calcul par la méthode de Gauss
  • 8.6 Formule de Binet
  • 8.7 Cofacteurs
  • 8.8 Matrices adjointes

Notes du Chapitre 8

Chapitre 9 : Vecteurs propres et diagonalisation

  • 9.1 Vecteurs, valeurs et sous-espaces propres
  • 9.2 L’équation caractéristique
  • 9.3 Opérateurs et matrices diagonalisables
  • 9.4 Opérateurs et matrices triangulables

Notes du Chapitre 9

Chapitre 10 : Formes normales de Jordan

  • 10.1 Polynôme minimal d’un opérateur
    • 10.1.1 Pourquoi ?
    • 10.1.2 Définitions et propriétés
    • 10.1.3 Calcul du polynôme minimal
  • 10.2 Théorème de Cayley-Hamilton
  • 10.3 Sous-espaces propres généralisés
  • 10.4 Vecteurs propres généralisés et chaînes de Jordan

Notes du Chapitre 10